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函数单调有界的定义与证明

来源:www.2326photo.com 时间:2024-05-16 20:51:30 作者:无穷说明网 浏览: [手机版]

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函数单调有界的定义与证明(1)

  在数学,函数单调有界是一个重要的概念,它在实际问题应用广泛,如金融、济、物理等领域无穷说明网。本文将介绍函数单调有界的定义与证明。

定义

  设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上定义,如果对于任意$x_1,x_2\in[a,b]$,当$x_1

另外,如果存在正数$M$,使得对于任意$x\in[a,b]$,有$|f(x)|\leq M$,则称$f(x)$在区间$[a,b]$上有界Ktk

证明

函数单调有界的定义与证明(1)

  下我们来证明函数单调有界的性质。首先,我们证明单调不降的函数在有限区间上有界

  假设$f(x)$在区间$[a,b]$上单调不降,即对于任意$x_1,x_2\in[a,b]$,当$x_1无穷说明网www.2326photo.com。因此,$f(x)$在区间$[a,b]$上有界。

同理,我们可以证明单调不增的函数在有限区间上有界。因为单调不降和单调不增是互为逆命题的,所以我们需要证明单调不降的情况即可。

  接下来,我们证明有界函数在有限区间上单调欢迎www.2326photo.com。假设$f(x)$在区间$[a,b]$上有界,即存在正数$M$,使得对于任意$x\in[a,b]$,有$|f(x)|\leq M$。我们需要证明$f(x)$在区间$[a,b]$上单调。

  假设存在$x_1,x_2\in[a,b]$,且$x_1f(x_2)$。因为$f(x)$有界,所以$|f(x_1)|\leq M$,$|f(x_2)|\leq M$,因此$f(x_1)-f(x_2)\leq 2M$无~穷~说~明~网。又因为$f(x_1)>f(x_2)$,所以$f(x_1)-f(x_2)>0$,所以$0f(x_2)+K$。

由于$f(x)$有界,所以在区间$[a,b]$上必然存在一个$x_3$,使得$f(x_3)$是$f(x)$的最小值。因为$f(x_1)-K>f(x_3)$,所以$x_1$不是最小值,因此$x_1\neq x_3$。同理,因为$f(x_2)+Kf(x_2)$,$f(x_1)-K>f(x_3)>f(x_2)+K$,这与$f(x)$单调不降的定义相矛RLoy。因此,假设不,即$f(x)$在区间$[a,b]$上单调。

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